FUVEST 2011

Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.

a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?

b) A instituição responsável pelo vestibular defi niu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas.
Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?

c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?

 

Resolução:

a) Permutação de 14 elementos. 14!

b) Temos 7! possibilidades de colocar as 7 primeiras de Português, e depois 3 possibilidades para a última
questão (Matemática), e depois 4 possibilidades para a penúltima (Geografia).
Resta ainda posicionarmos 5 questões, 2 de Matemática e 3 de Geografi a, não podendo as de Matemática
ocupar posições consecutivas. Para isso, podemos permutar todas as 5 e descontar os casos em que as 2 de Matemática ocupam posições consecutivas.
Assim:
5! – 4! x 2! = 72
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos, então:
P P P P P P P ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ G M
(permutação de 7 elementos) 7! x 72 x 4(G) x 3(M) = 864 x 7! = 4 354 560

c) O número de casos possíveis em que o candidato recebe uma prova que começa com 7 questões de Português é 7! x 7!.
Assim, a probabilidade P pedida é:

P = (864 x 7!)/ (7! x 7!)

P = 6/35

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