Simulado de funções

(vestibulares 2009 a 2011)

1) (FUVEST 2011)  Os modelos permitem-nos fazer previsões sobre situações reais, sendo, em geral, simplificações, válidas em certas condições, de questões complexas. Por exemplo, num jogo de futebol, a trajetória da bola, após o chute,  e o débito cardíaco dos jogadores podem ser descritos por modelos.
Trajetória da bola: quando se despreza a resistência do ar, a trajetória da bola chutada, sob a ação da gravidade (g = 10 m/s²), é dada por h = d.tg q – 5 (d²/V0²) (1 + tg²q), em que v0  é a velocidade escalar inicial (em m/s), q é o ângulo de elevação (em radianos) e h é a altura (em m) da bola a uma distância d (em m), do local do chute, conforme figura a seguir.
 

Débito cardíaco (DC): está relacionado ao volume sistólico VS (volume de sangue bombeado a cada batimento) e à frequência cardíaca FC pela fórmula DC = VS  FC.
Utilize esses modelos para responder às seguintes questões:
a) Durante uma partida, um jogador de futebol quer fazer um passe para um companheiro a 32 m de distância. Seu chute produz uma velocidade inicial na bola de 72 km/h. Calcule os valores de tg q necessários para que o passe caia exatamente nos pés do companheiro.
b) Dois jogadores, A e B, correndo moderadamente pelo campo, têm frequência cardíaca de 120 batimentos por minuto. O jogador A tem o volume sistólico igual a 4/5 do volume sistólico do jogador B. Os dois passam a correr mais rapidamente. A frequência cardíaca do jogador B eleva-se para 150 batimentos por minuto. Para quanto subirá a frequência cardíaca do jogador A se a variação no débito cardíaco (DCfinal – DCinicial) de ambos for a mesma?

 

2) (ITA 2011) a) Calcule (cos²π/5 − sen²π/5) cos π/10 – 2.sen π/5.cos π/5 sen π/10 .
b) Usando o resultado do item anterior, calcule sen π/10 cos π/5

 

3) (UNICAMP 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva abaixo representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que
a) M(t) = 2(4 - t / 75) .
b) M(t) = 2(4 - t / 50) .
c) M(t) = 2(5 - t / 50) .
d) M(t) = 2(5 - t / 150) .

 

4) (UNICAMP 2011) Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem.
Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é
a) 2400x = (2400 + 64x)(40 − x).
b) 2400(40 − x) = (2400 − 64x)x.
c) 2400x = (2400 − 64x)(40 − x).
d) 2400x(40 − x) = 2400 + 64x)x.

 

5) (UNICAMP 2011) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando CO2, além de outros gases e resíduos poluentes.
a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7kg de CO2 a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO2 ele emitiu em uma viagem de 378km, sabendo que fez 13,5km por litro de gasolina nesse percurso?
b) A quantidade de CO2 produzida por quilômetro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO2, em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40km/h, seja dada por um polinômio do segundo grau. Determine esse polinômio com base nos dados da tabela abaixo.

 

6) (UNICAMP 2011)Define-se como ponto fixo de uma função f o número real x tal que f(x) = x. Seja dada a função

a) Calcule os pontos fixos de f(x).
b) Na região quadriculada abaixo (ver resolução), represente o gráfico da função f(x) e o gráfico de g(x) = x, indicando explicitamente os pontos calculados no item (a).

 

7) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 x 20cm, deve ser recortada conforme mostra a figura abaixo. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por

em que xCG é a coordenada horizontal e yCG é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.

a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150cm².
b) Determine uma expressão geral para w(xCG), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada xCG , e calcule yCG quando xCG = 7/2 cm.

 

8) (FGV 2011 )O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y) dados abaixo.

Podemos concluir que o valor de k + m é:
a) 15,5
b) 16,5
c) 17,5
d) 18,5
e) 19,5

 

9) (FGV 2011) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:
• O vértice é o ponto (4, –1).
• Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0).
O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é:
A) (0, 14)
B) (0, 15)
C) (0, 16)
D) (0, 17)
E) (0, 18)

 

10) (FUVEST 2011) Seja ƒ(x) = a + 2 elevado à (bx + c), em que a, b e c são números reais. A imagem de ƒ é a semirreta ]–1, ∞[ e o gráfico de ƒ intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, –3/4). Então, o produto abc vale
a) 4
b) 2
c) 0
d) –2
e) –4

 

11) (FUVEST 2010) A função f : R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f ( x + 1) − f ( x) = 6x − 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f (x) ocorre quando x é igual a
a) 11/6
b) 7/6
c) 5/6
d) 0
e) – 5/6

 

12)(VUNESP 2011) Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a ser causado à população de certa espécie de pássaros pela construção de um grande conjunto de edifícios residenciais próximo ao sopé da Serra do Japi, em Jundiaí, SP, concluíram que a quantidade de tais pássaros, naquela região, em função do tempo, pode ser expressa, aproximadamente, pela função

onde t representa o tempo, em anos, e P0 a população de pássaros na data de início da construção do conjunto.
Baseado nessas informações, pode-se afirmar que:
a) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 30% de P0.
b) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 30% de P0.
c) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 40% de P0.
d) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 40% de P0.
e) P(t) não será inferior a 25% de P0.

 

13) (UFSCAR 2010) O gráfico esboçado representa o peso médio, em quilogramas, de um animal de determinada espécie em função do tempo de vida t, em meses.

a) Para 0 ≤ t ≤ 10 o gráfico é um segmento de reta. Determine a expressão da função cujo gráfico é esse segmento de reta e calcule o peso médio do animal com 6 meses de vida.
b) Para t ≥10 meses a expressão da função que representa o peso médio do animal, em quilogramas, é

Determine o intervalo de tempo t para o qual 10 < P(t) ≤ 70.

 

14) (UFSCAR 2010) Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pôde ser expressa pela função:

com t em horas, t ≥ 0, e a temperatura em graus Celsius.
a) Determine as temperaturas do forno no instante em que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora depois.
b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação log de 5 na base 2 = 2,3

 

15) (UFSCAR 2010) Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na figura, está representado o planeta Terra e uma nave espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta na nave N é dada em função do ângulo Ɵ, mostrado na figura, pela expressão:

a) Determine o ângulo Ɵ, em graus, para o qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra e a distância da nave à superfície da Terra neste caso. (Use a aproximação R = 6.400km.)
b) Se um astronauta numa nave, a uma distância d da Terra, avista a superfície da Terra com ângulo Ɵ = 15º, determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. (Use as aproximações raiz de 2  = 1,4 e raiz de 6 = 2,4.)

 

Algumas dicas e caminhos de como resolver estes exercícios.

1) a)Fazendo h=0, d=32 e v0=20 obtemos tgƟ=2 ou tgƟ=1/2
                        b) FCfinal=157,5bpm
                        2)  a)         b)
3)A. Podemos escrever a função exponencial como  M(t) = a.b elevado à (t). Sendo M(0) =16 e M(150)= 4. Pelo sistema a=16 e b=2(-1/75).
4)C. Cada homem paga 2400/x. Há 40-x mulheres e cada uma paga 2400/x -64. O grupo de mulheres também gasta 2400, então (40-x).( 2400/x -64)=2400. Multiplicando por x .....
5)  a) consumo: 378/13,5 = 28 litros. emissão de CO2: 28.2,7 = 75,6 kg
b) substituindo os valores da tabela na função c(v) = av² + bv + c temos o sistema: 400a+20b+c = 400;900a+30b+c=250; 1600a+40b+c=200. Resolvendo a, b e c  c(v) = 1/2v² – 40v + 1000.
6) a) Igualando x=f(x) obtemos depois do m.m.c. 2x² – x – 3 = 0 onde x=3/2 ou x=-1 os pontos fixos. b)

7) a) A soma das áreas dos retângulos é A(w) = 100 + 100 – 5w ; A(w) = 200 – 5w ; 150 = 200 – 5w ;  w = 10. Calculando xCG(10) =( 400 – 15.(10))/( 80 – 2.(10)) ; xCG(10) = 25/6cm . yCG(10) = (400 + (10 – 20)2 )/(80-2.10)  ; yCG(10) = 25/3cm .

b)

Fazendo  xCG = 7/2 ; w=15. Usando w=15 calculamos yCG(15) = 8,5cm.
8)c   9)b Sendo 5 uma raiz e 4 a abscissa do vértice da parábola a outra raiz de f(x) = 0 é 3. Fatorando temos f(x) = a(x – 3)(x – 5) colocando o vértice temos a(4 – 3)(4 – 5) = –1 ; a=1. Sendo  f(x) = (x – 3)(x – 5) temos que para x=0 f(0) = 15.
10) a Sendo a imagem de f = ]–1, ∞[ e ƒ(x) = a + 2 elevado à (bx + c), então a=-1. Basta substituir os pontos dados na função f.
11)c    12)e  13)a)8kg  b) 10 < t ≤ 34.    14)a) 401°C e 202°C, respectivamente. b) 4,3 horas       15)a) 30° e 6400km   b)3/8

 

 

Pergunte sempre ao seu professor