Análise Combinatória e Probabilidades

Vestibulares 2010 e 2011

1) (FUVEST 2011)  a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4?
 
2) (ITA 2011) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é
A)7/8         B) 5/7          c) 5/8       d) 3/5      e) 3/7
.
3) (ITA 2011) Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de biologia e 2 de espanhol. Determine a probabilidade de os livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.

4) (UNICAMP 2011) O sangue humano costuma ser classificado em diversos grupos, sendo os sistemas ABO e Rh os métodos mais comuns de classificação.

A primeira tabela abaixo fornece o percentual da população brasileira com cada combinação de tipo sanguíneo e fator Rh. Já a segunda tabela indica o tipo de aglutinina e de aglutinogênio presentes em cada grupo sanguíneo.

Em um teste sanguíneo realizado no Brasil, detectou-se, no sangue de um indivíduo, a presença de aglutinogênio A. Nesse caso, a probabilidade de que o indivíduo tenha sangue
A+ é de cerca de
a) 76%.
b) 34%.
c) 81%.
d) 39%.

5) (UNICAMP 2011) Um grupo de pessoas resolveu encomendar cachorros-quentes para o lanche. Entretanto, a lanchonete enviou apenas 15 sachês de mostarda e 17 de catchup, o que não é suficiente para que cada membro do grupo receba um sachê de cada molho. Desta forma, podemos considerar que há três subgrupos: um formado pelas pessoas que ganharão apenas um sachê de mostarda, outro por aquelas que ganharão apenas um sachê de catchup, e o terceiro pelas que receberão um sachê de cada molho.
a) Sabendo que, para que cada pessoa ganhe ao menos um sachê, 14 delas devem receber apenas um dos molhos, determine o número de pessoas do grupo.
b) Felizmente, somente 19 pessoas desse grupo quiseram usar os molhos. Assim, os sachês serão distribuídos aleatoriamente entre essas pessoas, de modo que cada uma receba ao menos um sachê. Nesse caso, determine a probabilidade de que uma pessoa receba um sachê de cada molho.

6) (FGV 2011) Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que:
• 50% aplicam dinheiro em caderneta de poupança.
• 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento.
• 15% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente.
Sorteando uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é:
A) 0,05
B) 0,20
C) 0,35
D) 0,50
E) 0,65

7) (FGV 2011) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?
A) 26
B) 24
C) 22
D) 30
E) 28

8) (FUVEST 2011) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?
a) 4/27
b)11/54   
c)7/27    
d)10/27      
e)23/54

9) (FUVEST 2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.

a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?

10) (FUVEST 2010)Seja n um número inteiro, n ≥ 0.
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que 0_ k _ n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.
Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

11) (FUVEST 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer
mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha
o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas
maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555

12) (VUNESP 2010) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer
caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:

a) 95040.
b) 40635.
c) 924.
d) 792.
e) 35.

13) (UFSCAR 2010) Em seu trabalho, João tem 5 amigos, sendo 3 homens e 2 mulheres. Já sua esposa Maria tem, em seu trabalho, 4 amigos (distintos dos de João), sendo 2 homens e 2 mulheres. Para uma confraternização, João e Maria pretendem convidar 6 dessas pessoas, sendo exatamente 3 homens e 3 mulheres. Determine de quantas maneiras eles podem convidar essas pessoas:
a) dentre todos os seus amigos no trabalho.
b) de forma que cada um deles convide exatamente 3 pessoas, dentre seus respectivos amigos.

 

Algumas dicas, caminhos e respostas dos exercícios

1)     a) 6 . 5 . 4 . 3 = 360 possibilidades
                        b) deve terminar em 5. Assim:  5 . 4 . 3 .1 = 60
                        c) Para ser divisível por 4, os dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4. Eles podem ser 16, 36, 56, 68 ou 96 (5 possibilidades). Assim: 4.3.5=60             2) 3)
                        4) A. 34% + 8% + +2,5% +0,5% =45%. 34% / 45%  @ 76%.
                        5)a) sendo x a intersecção das pessoas que ganharão sachês de mostarda e das que ganharão sachês de catchup, temos 15 – x + 17 – x = 14 ; –2x = –18 ; x = 9. Resp. 6 + 9 + 8 = 23. b)  Do enunciado, temos: 15 – x + x + 17 – x = 19 ; x = 13. A probabilidade de que uma das 19 pessoas receba um sachê de cada molho é igual a 13/19.
                        6)c    7)a  C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5, ou seja, 10 + 10 + 5 + 1 = 26
                         8)c    9)a) 14! b)7!.72.4.3 c) (7!.72.4.3)/( 7!. 7!) 
10) a) Luís pode receber de zero até n bolas, e Antônio receberá sempre o número de bolas restantes. Assim, temos n + 1 maneiras possíveis. b)  Se o número de bolas recebidas por Pedro for k=0 há J=n+1 maneiras de dividir entre os outros dois. Se k=1, J=n; se k=2, J=n-1 e assim a última possibilidade é  se k=n, J=1. Assim, o número total de maneiras de distribuir n bolas entre as três pessoas é dado pela soma da PA (n+1)+n+(n-1) ... +1 = (n+2).(n+1)/2  c)  Se Pedro já recebe no mínimo k bolas, restam (n – k) bolas para serem distribuídas entre os três. Sendo assim, o problema é análogo ao do item anterior, bastando substituir n por (n – k) na relação lá obtida. P=[(n-k+2).(n-k+1)]/[(n+2).(n+1)].
11)a     12)d     13)a) C5 3  . C4 3 = 40   b) (1º- caso) João escolhe 2 homens e 1 mulher, e Maria, 1 homem e 2 mulheres.Temos 3 . 2 . 2 . 1=12      (2º- caso) João escolhe 1 homem e 2 mulheres, e Maria, 2 homens e 1 mulher. 3.1.1.2=6. Então 12+6=18maneiras.

 

 

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