Matem�tica

Deseja-se descobrir quantos degraus s�o vis�veis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas come�aram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi poss�vel responder a quest�o. Quantos degraus s�o vis�veis nessa escada rolante? (obs: a escada est� andando).

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Hex�gono com solu��o

Not�cias

Desafios para os melhores - a Matem�tica

Matem�tico: paix�o pelos n�meros e atua��o no mercado

Simulado mediano de racioc�nio

Gabarito no final

1)Considere a brincadeira a seguir. Pense em um n�mero. Some 3. Multiplique o resultado por 4. Subtraia 6. Divida o resultado por 2. Subtraia duas vezes o n�mero que voc� pensou. Qual o resultado? Explique por que o resultado n�o depende do n�mero em que voc� pensou. Justifique.

2) Sejam N um n�mero natural de dois algarismos n�o-nulos e M o n�mero obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N - M = 45. Ent�o, quantos s�o os poss�veis valores de N ?
a) 7
b) 4
c) 5
d) 6

3) Um n�mero natural N tem tr�s algarismos. Quando dele subtra�mos 396 resulta o n�mero que � obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, al�m disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N � igual a 8, ent�o o algarismo das centenas de N �
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

4) Considere o fragmento abaixo:
A conta da descarga Os vasos sanit�rios representam cerca de um ter�o do consumo de �gua em uma casa. O Brasil tem hoje 100 milh�es de bacias sanit�rias antigas, que gastam de 30 a 40 litros por descarga. Como em uma resid�ncia com 4 pessoas se aciona a descarga sanit�ria em m�dia 16 vezes por dia, pode-se consumir 14.400 litros por m�s.

O pre�o desse volume de �gua cobrado pela Sabesp (Companhia de Saneamento B�sico do Estado de S�o Paulo) � de R$ 46,00.

As bacias novas no mercado consomem quase todas de 6 a 9 litros de �gua e t�m pre�o m�dio de R$ 50,00. Isso significa que quem trocar a bacia velha por uma nova reduz a conta da descarga para R$ 9,22.

Galileu. S�o Paulo, n. 140, mar. 2003. p. 49.

Baseando-se nesse texto, pode-se afirmar:

I. Uma casa com 4 moradores que possui bacias velhas ter� um consumo mensal m�nimo de �gua de 43,20 metros c�bicos.
II. A troca de bacias velhas por bacias novas possibilitar� uma economia mensal de 11,52 m� de �gua, numa casa com 4 moradores, considerando os valores m�nimos para o consumo de �gua gastos na descarga.
III. Em 35 dias, as resid�ncias com 4 moradores que trocarem as bacias velhas por bacias novas, com a economia proporcionada, poder�o recuperar o valor empregado na compra das bacias novas.

Est� correto o que se afirma em:

a) I e II, apenas.
b) II, apenas.
c) II e III, apenas.
d) III, apenas.
e) I, II e III.

5) (pucpr 2004)Considere a sucess�o dos n�meros naturais m�ltiplos de 7 escrita sem separar os algarismos a seguir: 7142128354249... Qual o valor absoluto do algarismo que ocupa nesta sucess�o o 76� lugar?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

6) Considere dois n�meros naturais ab e cd em que a, b, c e d s�o seus algarismos. Demonstre que, se ab.cd = ba.dc, ent�o a.c = b.d.

7) Segundo algumas estimativas, o volume de �gua facilmente dispon�vel para o consumo, em todo o planeta, � de 14 mil km3 por ano. Consideremos como razo�vel um consumo de 500 m3 por ano por habitante. Sabendo que a popula��o da Terra � de cerca de 6 bilh�es de pessoas e que cresce � taxa de 1,6% ao ano, gostar�amos de ter uma estimativa de em quanto tempo chegaremos, mantidos estes dados, ao limite dos recursos dispon�veis.
Expresse, utilizando os dados acima e as fun��es usuais em m�quina de calcular (ou seja: as quatro opera��es elementares, �x, log x, ln x, ex, 10x, sen x, cos x e tg x), o n�mero x de anos em que ainda teremos �gua facilmente dispon�vel.

8) Seja o n�mero XYZ, no qual X � o algarismo das centenas, Y o das dezenas e Z o das unidades. Invertendo-se a ordem dos algarismos obt�m-se o n�mero ZYX, que excede XYZ em 198 unidades. Se a soma dos tr�s algarismos � 15 e o produto dos algarismos extremos � 8, ent�o o n�mero XYZ est� compreendido entre
a) 250 e 300
b) 300 e 350
c) 400 e 450
d) 500 e 550
e) 550 e 600

9) Um n�mero n � formado por dois algarismos cuja soma � 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obt�m-se um n�mero do qual subtrai-se n e o resultado encontrado � 54. Determine o n�mero n.

10) Considere os n�meros inteiros abc e bac, onde a, b e c s�o algarismos distintos e diferentes de zero, e a>b. A diferen�a abc-bac ser� sempre um m�ltiplo de:
a) 4
b) 8
c) 9
d) 12
e) 20

11) Seja a um n�mero real n�o nulo. Dividir a por 0 � imposs�vel porque:
a) 0 n�o � um n�mero.
b) a deve ser um n�mero complexo.
c) qualquer n�mero multiplicado por 0 � 0.
d) qualquer n�mero positivo multiplicado por 1 � o pr�prio n�mero.
e) N.D.A.

12) Sophie Germain introduziu em seus c�lculos matem�ticos um tipo especial de n�mero primo descrito abaixo.
Se p � um n�mero primo e se 2p + 1 tamb�m � um n�mero primo, ent�o o n�mero primo p � denominado primo de Germain.
Pode-se afirmar que � primo de Germain o n�mero:
a) 7
b) 17
c) 18
d) 19
e) 41

13) Felipe come�a a escrever n�meros naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha ap�s a outra, como mostrado a seguir:
1
2  3  4
3  4  5  6  7
4  5  6  7  8  9  10
5  6  7  8  9  10  11  12  13
6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16
Considerando que Felipe mantenha o padr�o adotado em todas as linhas:
a) determine quantos n�meros naturais ele escrever� na 50a linha;
b) determine a soma de todos os n�meros escritos na 50a linha;
c) prove que a soma de todos os elementos de uma linha � sempre o quadrado de um n�mero �mpar.

14) Quantos fatores primos distintos tem o n�mero N=19992-19972-1998?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

15)(Fuvest 2005) Para a fabrica��o de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 26 e que o pre�o unit�rio do produto A excede em R$ 2,00 o pre�o unit�rio do produto B, determine o n�mero de unidades de A que foi comprado.

16) Minha amiga Ana nunca revela a sua idade. Hoje, quando lhe perguntei, ela respondeu: "Tenho o triplo da soma das idades de meus netos".
Os netos de Ana s�o J�lia e Lucas. J�lia � a mais velha. A diferen�a de idade entre os netos de Ana � de dois anos.
a) Se Lucas tivesse 15 anos, hoje, que idade teria Ana?
b) Escreva a express�o num�rica que tem como resultado a idade de Ana, considerando que a idade de J�lia, hoje, seja 10 anos.
c) Imagine que Ana tem, hoje, 66 anos. Nesse caso, quais s�o as idades atuais de J�lia e Lucas?

17) Considere que o IDHM (�ndice de desenvolvimento humano - municipal) leva em considera��o: IDHM-E (para educa��o), IDHM-L (para sa�de ou longevidade), IDHM-R, (para renda). O IDHM de cada munic�pio � fruto da m�dia aritm�tica simples desses tr�s sub-�ndices: (IDHM-E + IDHM-L + IDHM-R)/3
Preencha os espa�os vazios da tabela considerando as orienta��es dadas no enunciado para esta quest�o.
Assinale a alternativa que cont�m os valores v�lidos respectivamente para a, b, c, d, ap�s o preenchimento adequado do quadro.
a) a - 0,27; b - 0,24; c - 2,16; d - 0,26
b) a - 0,67; b - 0,85; c - 0,70; d - 0,90
c) a - 0,83; b - 0,72; c - 0,73; d - 0,80
d) a - 0,83; b - 0,73; c - 0,72; d - 0,80
e) a - 0,90; b - 0,70; c - 0,85; d - 0,67

Gabarito ou resolu��o

1) Seja n o nosso n�mero. A seq��ncia de opera��es indicada �:
n - n + 3 � 4(n + 3) = 4n + 12 � 4n + 12 - 6 = 4n + 6 � (4n + 6)/2 = 2n + 3 � 2n + 3 - 2n = 3
Assim, o resultado final � 3 e n�o depende do n�mero n escolhido.

2) b
3) c
4) a
5) c
6) (10a + b) . (10c + d) = (10b + a) . (10d +c)
100ac+10ad+10bc+bd = 100bd+10 bc+10ad+ac
99ac = 99bd
a . c = b . d

7) x = ln14 - ln3/ln(1,016) ou
x = log14 - log3/log(1,016)

8) a
9) c
11) c
12)e

13) a) 99
b) 9.801
c) Seja q(n) a quantidade de n�meros na n-�sima linha. Observando que a quantidade de n�meros na 1a linha � 1, na 2a � 3, na 3a � 5, e assim sucessivamente, temos q(n) = 2n -1.
S = n + (n+1) + (n + 2) + ... + [n + q(n) -1]
S = q(n) . n + { 1 + 2 + ... + [q(n) -1] }
S = q(n) . n + { q(n). [(q(n) - 1]/2 }
Sabendo que q(n) = 2n - 1, vem
S = (2n -1)2.

14)c
15) 12 unidades.
16) a) Ana teria 96 anos.
b) 3.(10 + 8)
c) As idades atuais de Lucas e J�lia s�o, respectivamente, 10 e 12 anos..

17) d

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