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Desafio do dia
Proporção
Enviado por: Wilson
 Em:  2012-01-17

Numa cidade, neste ano, o número de ratos é de 1 milhão e o número de habitantes é de 500 mil. Se o número de ratos duplica a cada cinco anos e o número de habitantes duplica a cada dez anos, o número de ratos por habitante, daqui a vinte anos, será de:

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Geometria analítica

Vestibulares 2010 e 2011

1) (FUVEST 2011)  No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = –4x²+ 8x + 12 e a reta r de equação y = 3x + 6. Determine:
a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P.
b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r.
c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.

2) (UNICAMP 2011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24km de distância da estrada, conforme a figura abaixo.

a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal.
Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico a seguir (ver resolução), identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.

b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada.

3) (FGV 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:
A) x² + y² + (2√10)x – (2√10)y + 10 = 0
B) x² + y² + (2√8)x – (2√8)y + 8 = 0
C) x² + y² - (2√10)x + (2√10)y + 10 = 0
D) x² + y² - (2√8)x + (2√8)y + 8 = 0
E) x² + y² – 4x + 4y + 4 = 0

4) (FGV 2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x² + y² = 8 , no ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:
a)(7/6 , 14/6)
b) (6/5 , 12/5)
c) (5/4 , 10/4)
d) (4/3 , 8/3)
e) (3/2 , 3/1)

5) (FGV 2011) O gráfico no plano cartesiano expressa a alta dos preços médios de televisores de tela plana e alta definição, do modelo “LCD, full HD, 32 polegadas”, antes da Copa do Mundo na África do Sul e sua queda após o início.
Os pontos A, A’ e C são colineares. Demonstre que o preço médio desse modelo em agosto de 2010 foi 8,3% menor, aproximadamente, que o preço médio do mesmo modelo em maio de 2010.

6) (FGV 2011) Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1o grau, f(x) = ax + b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005.
A) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste.
B) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.

7)No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (–1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (–1/2, 4), é tangente a C no ponto(0, 3). Então, o raio de C vale
a) √5/8
b) √5/4
c) √5/2
d) 3√5/4
e) √5

8)(FUVEST 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta O1O2 no ponto Q. Sendo assim, determine
a) o comprimento P1P2;
b) a área do quadrilátero O1O2P2P1;
c) a área do triângulo QO2P2.

9) (FUVEST 2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação  x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a
a) 3√2/2
b) 5√2/2
c) 7√2/2
d) 9√2/2
e) 11√2/2

10) (VUNESP 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5m de largura, separadas por uma pista de 7m de largura. Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: (Dado: 0,943² = 0,889 e raiz de 0,111 = 0,333)

A) 35.
B) 30.
C) 25.
D) 20.
E) 15.

11) (VUNESP 2010)  Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.

Dado que no processo P1 pode-se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24 horas por dia, a representação no plano cartesiano do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, às duas restrições de número de horas possíveis de serem trabalhadas nos processos P1 e P2, em um dia, é:

 

Algumas dicas, caminhos e respostas dos exercícios

1)a) Resolvendo essa equação temos x = 3 ou x = –1.Assim, os pontos A e B são (–1,0) e (3,0).   b) Resolva o sistema da parábola com a reta c) C(2,12) Faça o desenho Área = 3.6 2)a) Por Pitágoras 402 = 242 + k² então  k = 32.  As áreas de cobertura das duas antenas são dadas por: (x – 32)² + (y – 24)²≤ 24² (primeira antena)  e x² + y² ≤ 32² (segunda antena)

b) Do enunciado, temos o triângulo ABC acima. a² = 24² + (32 – a)²  ;   a = 25
3)b  4)d  5)yA =2500,00 e yA’ = 2350,00 então yc= 2200,00. Variação de 8,33333%
6) a) Encontrar as equações das retas do salário mínimo e da cesta básica. b) Resolver a equação SM(x) = 3CB(x).   7)e Sendo tangentes, seus centros e o ponto de tangência estão alinhados. A equação da reta que passa por estes pontos é y = –2x + 3 e o ponto O é do tipo (x, –2x + 3). Igualar as distância de O até (0, 3) e de O até (–1, 0). 

8)

   

  a) P1P2=12  b)área=90 c) triângulos QP1O1 e QP2O2 são semelhantes então QP1 = 4 e a Área pedida=96         9) b    10)b      11)e