Geometria Plana

Vestibulares 2010 e 2011

1)(UNICAMP 2011) Quando um carro não se move diretamente na direção do radar, é preciso fazer uma correção da velocidade medida pelo aparelho (Vm) para obter a velocidade real do veículo (Vr). Essa correção pode ser calculada a partir da fórmula Vm = Vr . cos(α), em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do carro quando este estava a 130 m de distância, como mostra a figura abaixo.          

2) (UNICAMP 2011) Considere uma gangorra composta por uma tábua de 240cm de comprimento, equilibrada, em seu ponto central, sobre uma estrutura na forma de um prisma cuja base é um triângulo equilátero de altura igual a 60cm,como mostra a figura. Suponha que a gangorra esteja instalada sobre um piso perfeitamente horizontal.

a) Desprezando a espessura da tábua e supondo que a extremidade direita da gangorra está a 20cm do chão, determine a altura da extremidade esquerda.
b) Supondo, agora, que a extremidade direita da tábua toca o chão, determine o ângulo α formado entre a tábua e a lateral mais próxima do prisma, como mostra a vista lateral da gangorra, exibida abaixo.

3) (UNICAMP 2011) Um engenheiro precisa interligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conectar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno α.

4) (FUVEST 2011) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados

A área do polígono DEFGHI vale
a) 1 +√3
b) 2 +√3
c) 3 + √3
d) 3 + 2√3
e) 3 + 3√3

5)  (ITA 2011) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 2√3 cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com o baricentro do triângulo.
Este círculo tangencia externamente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados do triângulo.
a) Determine o valor de r.
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos círculos.
c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine a distância do centro ao vértice mais próximo

6) (ITA 2011) Num triângulo AOB o ângulo AOB mede 1350 e os lados AB e OB medem √2 cm e √(2-√3)cm, respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto C ≠ B.
a) Mostre que OAB mede 150.
b) Calcule o comprimento de AC.

7) (FUVEST 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema abaixo.

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?

8) (FUVEST 2010) No triângulo ABC da figura, a mediana AM relativa ao lado BC é perpendicular ao lado AB. Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α é a medida do ângulo ABC, determine
a) senα.
b) o comprimento AC.
c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB
d) a área do triângulo AMC.

9) (FUVEST 2010) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo.
Se DE = 3 2, então a área do paralelogramo DECF vale
a) 63/25
b) 12/5
c) 58/25
d) 56/25
e) 11/5

10) (FUVEST 2010) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AOB mede π/3 radianos. Então, a área do
triângulo ABC vale 
a)a²/8
b)a²/4
c)a²/2
d)3a²/4
e)a²

11) (FUVEST 2010) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede √5/4, o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede
a)3√5/40
b) 7√5/40
c)9√5/40
d)11√5/40
e) 13√5/40

12) (VUNESP 2011) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

13) (VUNESP 2010) A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB . Dado: raiz de 11 = 3,32
A) 88,6.
B) 81,2.
C) 74,8.
D) 66,4.
E) 44,0.

 

Algumas dicas, caminhos e respostas dos exercícios

1)b. Chamemos de x o cateto do triângulo. Por Pitágoras temos que x=120. Vm = Vr . cosα → 72 =  Vr . 120/130 → Vr = 78 km/h.
2) a)Por semelhança temos na figura que AB/MB = AP/MQ  ;  240/120=(x-20)/40  ;  x=100. b)A vista lateral está representada na figura abaixo.  Α=30º.

                                                                                                                

3)a) Considerando a linha central da estrada, temos a figura abaixo

No triângulo TQV temos: senα=h/x; h=x.senα e cosα=a/x ; a=x.cosα
No triângulo O1PQ temos: senα=b/r ; b=r. senα e cosα=c/r ; c=r. cosα
O valor de y é y = a + 2b. substituindo a e b temos: y = x.cosα + 2.r.senα
Do enunciado temos que x = d√2 – 2r(√2 – 1), substituindo em y= x.cosα + 2.r.senα ,temos:
y = [d√2 – 2r(√2 – 1)] cosα + 2.r.senα . Sendo  d=32 ; r = 36 e α=45o teremos:
y=72√2m
b)Da figura concluímos que d = h + 2.(r – c) e substituindo os valores de d, h e c temos:
90 = x.sen60º + 2.(36 – 36.cos60º);  x = 36√3m
4)c    5)a)   b)    c)
                        6)     7) São três triângulos semelhantes. X=6/17  
8) a) ½  b)Lei dos cossenos em ABC. AC=√7   c)2   d)Prolongue o lado AB até H. S=√3/2

9) a    10)b    11)d    12)c    13)d 

 

 

 

 

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