Equação Matricial

"Minuciosamente explicado"

 

Calcule a matriz X onde A e B são inversíveis e de mesma ordem.

[A(X.B)^t]^-1 = B

Fazendo a inversa nos dois membros, temos

([A(X.B)^t]^-1)^-1 = B^-1

fazendo a inversa da inversa, ficamos com a matriz do centro tipo: ( Y^-1)^-1 = Y

[A(X.B)^t] = B^-1

fazendo a transposta da transposta, ficamos com a matriz do centro tipo: ( Y^t)^t= Y

[A(X.B)^t]^t = (B^-1)^t

(X.B)A^t=(B^-1)^t            observe a propriedade (AB)^t=B^tA^t

multiplicando pela direita por (A^t)^-1 nos dois membros:

(X.B)A^t(A^t)^-1=(B^-1)^t(A^t)^-1           observe a propriedade A.A^-1=I

XB = (B^-1)^t(A^t)^-1           observe novamente a propriedade A.A^-1=I

XB.B^-1 = (B^-1)^t(A^t)^-1.B^-1         multiplicando pela direita por B^-1 nos dois membros:

X = (B^-1)^t(A^t)^-1.B^-1 

Podemos "simplificar" a aparência desta resposta com algumas propriedades:

X = (B^-1)^t(A^-1)^t.B^-1       propriedade >>>>>    (A^-1)^t= (A^t)^-1

X = (A^-1B^-1)^t.B^-1       propriedade >>>>>    (AB)^-1=B^-1A^-1

X = ((BA)^-1)^t.B^-1

X = ((BA)^t)^-1.B^-1       propriedade >>>>>    (AB)^-1=B^-1A^-1

X = ((B.BA)^t)^-1

 

 

 

Pergunte sempre ao seu professor