Polinômios e números complexos

(Vestibulares 2010 e 2011)

1) (FGV 2011) Ao tentar encontrar a intersecção do gráfico de uma função quadrática com o eixo x , um aluno encontrou as soluções: 2 + i e 2 – i. Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Sabe-se que a curva intercepta o eixo y no ponto (0, 5).

2) (FGV 2011) O polinômio de grau 4 P(x) = x4 – 5x³ + 3x² + 5x – 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a:
A) 5          B) 4       C) 3        D) 2           E) 1

3) (FGV 2011) a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i , –3 e –6i, respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A’B’C’D’ que se obtém girando 90º o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B’?

4) (FUVEST 2011) a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo

b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z0 .w tenha módulo igual a 5√2 e tais que as partes real e imaginária de z0 .w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equação y – x = 0.

5) (FUVEST 2011) As raízes da equação do terceiro grau x³ – 14x² + kx – 64 = 0 são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine
a) as raízes da equação;
b) o valor de k.

6) (VUNESP 2010) As soluções da equação z³ = i, onde z é um número complexo e i² = –1, são:

 

Algumas dicas, caminhos e respostas dos exercícios.

• A função pode ser escrita como f(x) = a(x – 2 – i)(x – 2 + i), ou seja, f(x) = a(x2 – 4x + 5) Como f(0) = 5, então a = 1. Calculando o vértice encontramos o ponto V(2, 1).

 2)a  3) a) Área=36, b) A’(0, 3), B’(–6, 0), C’(0, –3) e D’(6, 0)  c)multiplicando pelo complexo x+yi, teremos 6i(x + yi) = –6 + 0.i então –6y + 6xi = –6 + 0i . Basta comparar os dois membros.
4) a) sendo Z0=1/2 +i   ½ e 1  b) polinômio pedido é da forma P(x) = a(x- 1/2 -i).(x-1/2 +i) e portanto P(x)= a(x2 – x +5/4). Para que esse polinômio tenha coeficientes inteiros, basta que a seja um múltiplo de 4. Portanto apode ser 4.
c) Como |z0 .w| = 5√2  e  z0.w = a + ai  temos que √(a² + a² )= 5√2. a=±5.
Sendo z0 •w = 5 + 5i ; (1/2 +i ) •w = 5 + 5i ; w= 6 – 2i
Sendo z0 •w = -5 - 5i ; (1/2 +i ) •w = -5 - 5i ; w= -6 +2i
d) a parte real de z1 é igual à parte imaginária de z0 e, a parte imaginária de z1 é igual à parte real de z0
portanto z1 =1 + (½)i
5)a)Usar as relações de Girard  e sendo P. G. X2² =X1. X3 resolvemos o sistema e obtemos as raízes 2,4, 8. b) Substituindo as raízes em x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = k temos que k=56.    6)c

Pergunte sempre ao seu professor