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Desafio do dia
Raciocínio
Enviado por: Matheus
 Em:  2011-05-24

Na época em que os bichos falavam, numa floresta viviam dona Onça e dona Hiena, comadres inseparáveis, com características peculiares. Dona Hiena mente às segundas, terças e quartas-feiras: dona Onça mente às quintas, sextas e sábados. Nos dias que não mentem, elas dizem a verdade. Certa vez, num encontro, dona Hiena e dona Onça conversaram: - Olá, dona Onça ! Ontem eu menti - disse a dona Hiena. - Olá, dona Hiena ! Eu também menti ontem - retrucou dona Onça. Em que dia aconteceu esse encontro ?

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Sistemas e equações

1) (FGV 2011) O sistema linear nas incógnitas x, y e z:
x – y = 10 + z
y – z = 5 – x
z + x = 7 + y
pode ser escrito na forma matricial AX = B, em que:

X =

x
y
z

e B =

10
5
7

Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a:
A) 5 D) 2
B) 4 E) 1
C) 3

2) (FGV 2001)a) Demonstre que as duas equações abaixo são identidades.
1ª (x + y)² – 2xy = x² + y²
2ª (x + y) . [(x + y)² – 3xy] = x³ + y³
b) Um cavalheiro, tentando pôr à prova a inteligência de um aritmético muito falante, propôs-lhe o seguinte problema: “Eu tenho, em ambas as mãos, 8 moedas no total. Mas, se eu conto o que tenho em cada mão, os quadrados do que tenho em cada mão, os cubos do que tenho em cada mão, a soma disso tudo é o número 194. Quantas moedas tenho em cada mão?”
Mesmo que você resolva o problema por substituição e tentativa, faça o que é pedido no item C.
c) Expresse o problema mediante um sistema de duas equações com duas variáveis.
Resolva o sistema de equações usando, se julgar conveniente, as identidades do item A.

3) (FUVEST 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17

4) (FUVEST 2011) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

5) (FGV 2011) Considere três trabalhadores. O segundo e o terceiro, juntos, podem completar um trabalho em 10 dias. O primeiro e o terceiro, juntos, podem fazê-lo em 12 dias, enquanto o primeiro e o segundo, juntos, podem fazê-lo em 15 dias. Em quantos dias, os três juntos podem fazer o trabalho?

6) (FUVEST 2010) Determine a solução (x, y), y>1, para o sistema de equações
log (9x-35) na base y =6
log (27-81) na base 3y =3

7) (VUNESP 2011) Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um campeonato de damas entre os alunos. Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da escola comprou 310 chocolates, que foram divididos entre os 1º, 2º e 3º colocados no campeonato, em quantidades inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente. As quantidades de chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no campeonato, foram:
A) 155, 93 e 62.
B) 155, 95 e 60.
C) 150, 100 e 60.
D) 150, 103 e 57.
E) 150, 105 e 55.

8) (VUNESP 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda.
A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00.
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de
A) 3.767,00.
B) 3.777,00.
C) 3.787,00.
D) 3.797,00.
E) 3.807,00.

9) (VUNESP 2010) Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1000 unidades de C1 são exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1000 unidades de C2 são necessárias 1 hora de trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diária de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P1 é 3x + y, e que o número de horas trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.

Dado que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P1 é de R$0,50, enquanto que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P2 é de R$0,80, e se forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no número máximo possíveis de horas, o lucro obtido, em reais, será:
A) 3.400,00.
B) 3.900,00.
C) 4.700,00.
D) 6.400,00.
E) 11.200,00.

 

Respostas 1)b 2) a)(x + y)² – 2xy = x² + 2xy + y² – 2xy e (x + y) . [x² + 2xy + y² – 3xy]
b e c) Resolva o sistema
x + y = 8
x + y + x² + y² + x³ + y³ = 194
3)a. p = parcela. Para pagamento em (n – 3) parcelas temos np = (n – 3)(p + 60) → 60n – 3p = 180 (I).
. Para pagamento em (n – 5) parcelas temos np = (n – 5)(p + 125) → 125n – 5p = 625 (II) .
Do sistema (I) e (II) encontramos n = 13.
4)d 5) Sejam a, b e c as frações do trabalho que o primeiro, segundo e o terceiro, respectivamente, realizam em um dia. Então a+b=1/15, a+c=1/12 e b+c=1/10. Somando as três obtemosa+b+c=1/8, ou seja os três juntos fazem o trabalho em oito dias. 6)S={(11,2)} 7)c 8)c 9)a